1. 概述
在本教程中，我们将了解如何在 Java 中实现最小-最大堆。
2. 最小-最大堆
首先我们看一下堆的定义和特点。最小-最大堆是一棵完全二叉树，同时具有最小堆和最大堆的特征：
正如我们在上面看到的，树中偶数级别的每个节点都小于其所有后代，而树中奇数级别的每个节点都大于其所有后代，其中根位于零级。
最小-最大堆中的每个节点都有一个通常称为键的数据成员。 根 在最小-最大堆中具有最小的 键 ，并且第二层中的两个节点之一是最大的 键 。对于最小-最大堆中的每个节点（例如 X ）：
- 如果 X 位于最小（或偶数）级别，则 X.key 是以根 X 为根的子树中所有键中的最小键
- 如果 X 处于最大（或奇数）级别，则 X.key 是以根 X 为根的子树中所有键中的最大键
与最小堆或最大堆一样，插入和删除的时间复杂度为 O(logN) 。
3.Java中的实现
让我们从一个代表最小-最大堆的简单类开始：
public class MinMaxHeap<T extends Comparable<T>> {
private List<T> array;
private int capacity;
private int indicator;
}
正如我们在上面看到的，我们使用一个 指示器 来找出添加到数组中的最后一个项目索引。但在继续之前，我们需要记住 数组索引从零开始，但我们假设堆中索引从 1 开始。
我们可以使用以下方法找到左子节点和右子节点的索引：
private int getLeftChildIndex(int i) {
return 2 * i;
}
private int getRightChildIndex(int i) {
return ((2 * i) + 1);
}
同样，我们可以通过以下代码找到数组中该项的父项和祖项的索引：
private int getParentIndex(int i) {
return i / 2;
}
private int getGrandparentIndex(int i) {
return i / 4;
}
现在，让我们继续完成我们简单的最小-最大堆类：
public class MinMaxHeap<T extends Comparable<T>> {
private List<T> array;
private int capacity;
private int indicator;
MinMaxHeap(int capacity) {
array = new ArrayList<>();
this.capacity = capacity;
indicator = 1;
}
MinMaxHeap(List<T> array) {
this.array = array;
this.capacity = array.size();
this.indicator = array.size() + 1;
}
}
我们可以在这里通过两种方式创建最小-最大堆的实例。首先，我们启动一个具有 ArrayList 和特定容量的数组，其次，我们从现有数组中创建一个最小-最大堆。
现在，让我们讨论堆上的操作。
3.1.创造
让我们首先看看如何从现有数组构建最小-最大堆。这里我们使用 Floyd 算法并进行一些修改，例如Heapify 算法：
public List<T> create() {
for (int i = Math.floorDiv(array.size(), 2); i >= 1; i--) {
pushDown(array, i);
}
return array;
}
让我们仔细看看下面代码中的 pushDown ，看看上面的代码到底发生了什么：
private void pushDown(List<T> array, int i) {
if (isEvenLevel(i)) {
pushDownMin(array, i);
} else {
pushDownMax(array, i);
}
}
正如我们所看到的，对于所有偶数级别，我们使用 pushDownMin 检查数组项。 该算法类似于我们将用于 removeMin 和 removeMax 的heapify-down：
private void pushDownMin(List<T> h, int i) {
while (getLeftChildIndex(i) < indicator) {
int indexOfSmallest = getIndexOfSmallestChildOrGrandChild(h, i);
//...
i = indexOfSmallest;
}
}
首先，我们找到“ i” 元素的最小子元素或孙元素的索引。然后我们按照以下条件进行。
如果最小的子元素或孙元素不小于当前元素，我们就中断。换句话说，当前的元素排列就像最小堆：
if (h.get(indexOfSmallest - 1).compareTo(h.get(i - 1)) < 0) {
//...
} else {
break;
}
如果最小的子元素或孙元素小于当前元素，我们将其与其父元素或祖元素交换：
if (getParentIndex(getParentIndex(indexOfSmallest)) == i) {
if (h.get(indexOfSmallest - 1).compareTo(h.get(i - 1)) < 0) {
swap(indexOfSmallest - 1, i - 1, h);
if (h.get(indexOfSmallest - 1)
.compareTo(h.get(getParentIndex(indexOfSmallest) - 1)) > 0) {
swap(indexOfSmallest - 1, getParentIndex(indexOfSmallest) - 1, h);
}
}
} else if (h.get(indexOfSmallest - 1).compareTo(h.get(i - 1)) < 0) {
swap(indexOfSmallest - 1, i - 1, h);
}
我们将继续上述操作，直到找到元素“i”的子元素。
现在，让我们看看 getIndexOfSmallestChildOrGrandChild 是如何工作的。这很容易！首先，我们假设左孩子的值最小，然后将其与其他孩子进行比较：
private int getIndexOfSmallestChildOrGrandChild(List<T> h, int i) {
int minIndex = getLeftChildIndex(i);
T minValue = h.get(minIndex - 1);
// rest of the implementation
}
在每一步中，如果索引大于指标，则最后找到的最小值就是答案。
例如，让我们将 最小值 与右孩子进行比较：
if (getRightChildIndex(i) < indicator) {
if (h.get(getRightChildIndex(i) - 1).compareTo(minValue) < 0) {
minValue = h.get(getRightChildIndex(i));
minIndex = getRightChildIndex(i);
}
} else {
return minIndex;
}
现在，让我们创建一个测试来验证从无序数组创建最小-最大堆是否可以正常工作：
@Test
public void givenUnOrderedArray_WhenCreateMinMaxHeap_ThenIsEqualWithMinMaxHeapOrdered() {
List<Integer> list = Arrays.asList(34, 12, 28, 9, 30, 19, 1, 40);
MinMaxHeap<Integer> minMaxHeap = new MinMaxHeap<>(list);
minMaxHeap.create();
Assert.assertEquals(List.of(1, 40, 34, 9, 30, 19, 28, 12), list);
}
PushDownMax 的算法与 PushDownMin 的算法相同，但所有比较的运算符都相反。
3.2.插入
让我们看看如何向最小-最大堆添加元素：
public void insert(T item) {
if (isEmpty()) {
array.add(item);
indicator++;
} else if (!isFull()) {
array.add(item);
pushUp(array, indicator);
indicator++;
} else {
throw new RuntimeException("invalid operation !!!");
}
}
首先，我们检查堆是否为空。如果堆为空，我们追加新元素并增加指示器。否则，添加的新元素可能会改变最小-最大堆的顺序，因此我们需要使用 pushUp 来调整堆：
private void pushUp(List<T>h,int i) {
if (i != 1) {
if (isEvenLevel(i)) {
if (h.get(i - 1).compareTo(h.get(getParentIndex(i) - 1)) < 0) {
pushUpMin(h, i);
} else {
swap(i - 1, getParentIndex(i) - 1, h);
i = getParentIndex(i);
pushUpMax(h, i);
}
} else if (h.get(i - 1).compareTo(h.get(getParentIndex(i) - 1)) > 0) {
pushUpMax(h, i);
} else {
swap(i - 1, getParentIndex(i) - 1, h);
i = getParentIndex(i);
pushUpMin(h, i);
}
}
}
正如我们在上面看到的，新元素比较它的父元素，然后：
- 如果发现它小于（大于）父级，那么它肯定小于（大于）位于堆根路径上的最大（最小）级别上的所有其他元素
- 从新元素到根的路径（仅考虑最小/最大级别）应按插入之前的降序（升序）顺序。因此，我们需要将新元素以二进制方式插入到该序列中
现在，让我们看一下 pushUpMin ，如下所示：
private void pushUpMin(List<T> h , int i) {
while(hasGrandparent(i) && h.get(i - 1)
.compareTo(h.get(getGrandparentIndex(i) - 1)) < 0) {
swap(i - 1, getGrandparentIndex(i) - 1, h);
i = getGrandparentIndex(i);
}
}
从技术上讲，当父元素更大时，将新元素与其父元素交换会更简单。此外， pushUpMax 与 pushUpMin 相同，但在所有比较中，运算符颠倒了。
现在，让我们创建一个测试来验证将新元素插入到最小-最大堆中是否可以正常工作：
@Test
public void givenNewElement_WhenInserted_ThenIsEqualWithMinMaxHeapOrdered() {
MinMaxHeap<Integer> minMaxHeap = new MinMaxHeap(8);
minMaxHeap.insert(34);
minMaxHeap.insert(12);
minMaxHeap.insert(28);
minMaxHeap.insert(9);
minMaxHeap.insert(30);
minMaxHeap.insert(19);
minMaxHeap.insert(1);
minMaxHeap.insert(40);
Assert.assertEquals(List.of(1, 40, 28, 12, 30, 19, 9, 34),
minMaxHeap.getMinMaxHeap());
}
3.3.查找最小值
最小-最大堆中的主要元素始终位于根，因此我们可以在时间复杂度 O(1) 中找到它：
public T min() {
if (!isEmpty()) {
return array.get(0);
}
return null;
}
3.4.找到最大
最小-最大堆中的最大元素总是位于第一个奇数层，因此我们可以通过简单的比较以时间复杂度 O(1) 找到它：
public T max() {
if (!isEmpty()) {
if (indicator == 2) {
return array.get(0);
}
if (indicator == 3) {
return array.get(1);
}
return array.get(1).compareTo(array.get(2)) < 0 ? array.get(2) : array.get(1);
}
return null;
}
3.5.删除最小值
在本例中，我们将找到最小元素，然后将其替换为数组的最后一个元素：
public T removeMin() {
T min = min();
if (min != null) {
if (indicator == 2) {
array.remove(indicator--);
return min;
}
array.set(0, array.get(--indicator - 1));
array.remove(indicator - 1);
pushDown(array, 1);
}
return min;
}
3.6.删除最大
删除 max 元素与删除 min 相同，唯一的变化是我们找到 max 元素的索引，然后调用 PushDown ：
public T removeMax() {
T max = max();
if (max != null) {
int maxIndex;
if (indicator == 2) {
maxIndex = 0;
array.remove(--indicator - 1);
return max;
} else if (indicator == 3) {
maxIndex = 1;
array.remove(--indicator - 1);
return max;
} else {
maxIndex = array.get(1).compareTo(array.get(2)) < 0 ? 2 : 1;
}
array.set(maxIndex, array.get(--indicator - 1));
array.remove(indicator - 1);
pushDown(array, maxIndex + 1);
}
return max;
}
4。结论
在本教程中，我们了解了在 Java 中实现最小-最大堆并探索了一些最常见的操作。
首先，我们了解了最小-最大堆到底是什么，包括一些最常见的功能。然后，我们了解了如何在最小-最大堆实现中创建、插入、查找最小、查找最大、删除最小和删除最大项。
与往常一样，本文中使用的所有示例都可以在 GitHub 上找到。