如何判断一个数是否为完美数

1. 引言

完美数是一种特殊的正整数，它等于其所有真因子（不包括自身）之和。这类数字在整数领域极为罕见——人类历史上仅发现少量完美数，前四个分别是6、28、496和8128。本文将深入探讨完美数的概念，并介绍三种不同的判断方法。

2. 理解完美数

通过具体例子理解完美数：

数字6的真因子为1、2、3，其和1+2+3=6
数字28的真因子为1、2、4、7、14，其和1+2+4+7+14=28

✅ 当真因子之和等于自身时，该数即为完美数。下面介绍三种判断方法。

3. 暴力法

最直接的方法是遍历所有可能的真因子并求和：

public static boolean isPerfectBruteForce(int number) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= number / 2; i++) {
        if (number % i == 0) {
            sum += i;
        }
    }
    return sum == number;
}

⚠️ 关键点：

遍历范围到number/2即可，因为最大真因子不超过number/2
时间复杂度为O(n)，适合小数字但效率较低

4. 基于流的方法

利用Java Stream优化计算：

public static boolean isPerfectStream(int number) {
    int sum = IntStream.rangeClosed(2, (int) Math.sqrt(number))
      .filter(test -> number % test == 0)
      .reduce(1, (s, test) -> s + test + (number / test));
    return sum == number;
}

✅ 优化原理：

因子成对出现（如a和number/a），只需遍历到√number
同时累加因子及其配对值（如test和number/test）
时间复杂度降至O(√n)，显著提升效率

5. 欧拉-欧几里得定理

基于数学定理的高效方法：

若$2^{p-1} \times (2^p - 1)$是素数（其中p为素数），则$(2^p - 1) \times 2^{p-1}$是完美数

基础实现：

public static boolean isPerfectEuclidEuler(int number) {
    int p = 2;
    int perfectNumber = (int) (Math.pow(2, p - 1) * (Math.pow(2, p) - 1));
    while (perfectNumber <= number) {
        if (perfectNumber == number) {
            return true;
        }
        p++;
        perfectNumber = (int) (Math.pow(2, p - 1) * (Math.pow(2, p) - 1));
    }
    return false;
}

❌ 性能陷阱：Math.pow()计算效率低下，需优化为位运算：

public static boolean isPerfectEuclidEulerUsingShift(int number) {
    int p = 2;
    int perfectNumber = (2 << (p - 1)) * ((2 << p) - 1);
    while (perfectNumber <= number) {
        if (perfectNumber == number) {
            return true;
        }
        p++;
        perfectNumber = (2 << (p - 1)) * ((2 << p) - 1);
    }
    return false;
}

✅ 优化效果：

用(2 << p)替代Math.pow(2, p)
时间复杂度降至O(log n)，适合大数计算

6. 分析与比较

三种方法性能对比（JMH基准测试，测试数33550336）：

方法	吞吐量(ops/s)	误差	特点
暴力法	55.070	±2.674	简单但低效
流方法	96,114.246	±3,666.451	平衡简洁与效率
欧拉-欧几里得（优化版）	99,191,865.954	±5,924,410.475	极致性能

📊 结论：

暴力法：仅适合小数字，大数时性能急剧下降
流方法：代码简洁，中等规模数据表现良好
欧拉-欧几里得（优化版）：性能碾压其他方法，尤其适合大数场景

7. 总结

完美数判断的三种方法各有适用场景：

小规模数据：暴力法足够
中等规模：流方法平衡可读性与效率
大规模数据：优化后的欧拉-欧几里得定理是最佳选择

实际开发中，建议根据数据规模选择合适算法。源码可在GitHub获取。

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REST

Security